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  • Immagine del redattoreAndrea Viliotti

Kolmogorov–Arnold Networks (KAN): Nuove frontiere nell'apprendimento automatico per la scienza e l'industria

Una ricerca condotta da Ziming Liu et al. ha introdotto le Reti Kolmogorov-Arnold (KAN) come alternativa ai Multi-Layer Perceptrons (MLP). Questo approccio potrebbe avere un impatto significativo sullo sviluppo dell'intelligenza artificiale, in quanto le KAN, grazie all'uso di funzioni di attivazione apprendibili sui collegamenti, offrono maggiore flessibilità e precisione rispetto agli MLP. Le KAN migliorano la precisione e la capacità di adattamento dei modelli di intelligenza artificiale, facilitando la risoluzione di problemi complessi e aprendo la strada a nuove applicazioni innovative.

Nel dettaglio, le KAN si basano sul teorema di rappresentazione di Kolmogorov-Arnold e combinano l'efficacia degli MLP nel gestire dati complessi con la precisione delle spline per funzioni univariate. Ideali per applicazioni scientifiche e industriali, le KAN superano gli MLP in termini di accuratezza e interpretabilità, risultando particolarmente efficaci in compiti come la soluzione di equazioni differenziali parziali e la scoperta scientifica.



Kolmogorov–Arnold Networks (KAN)
Kolmogorov–Arnold Networks (KAN)

Nel campo dell'apprendimento automatico, una recente ricerca condotta da Ziming Liu, Yixuan Wang, Sachin Vaidya, Fabian Ruehle, James Halverson, Marin Soljačić, Thomas Y. Hou e Max Tegmark ha presentato una promettente alternativa ai Multi-Layer Perceptrons (MLP), le Reti Kolmogorov-Arnold (KAN). Questo studio, basato sul teorema di rappresentazione di Kolmogorov-Arnold, propone un'innovativa architettura di rete neurale che impiega funzioni di attivazione apprendibili sui collegamenti anziché sui nodi.

 

Le reti neurali a più livelli, note anche come percettroni multistrato (MLP), sono una componente fondamentale nel deep learning. Queste strutture, grazie al teorema di approssimazione universale, possono approssimare funzioni matematiche complesse, permettendo di modellare relazioni intricate tra i dati d'ingresso e i risultati desiderati​.

 

Gli MLP sono strettamente collegati a piattaforme di intelligenza artificiale come ChatGPT e Gemini. Pur essendo una delle forme più semplici di reti neurali, gli MLP costituiscono le fondamenta di architetture più complesse impiegate da questi avanzati modelli di linguaggio. ChatGPT, ad esempio, utilizza un tipo di rete neurale chiamata Transformer, che incorpora concetti di MLP per l'elaborazione non lineare dei dati attraverso strati di neuroni completamente connessi​​.

 

I Transformers utilizzano strati di MLP insieme a meccanismi di attenzione per analizzare e generare testo. Mentre i MLP tradizionali applicano semplicemente trasformazioni non lineari ai dati, i Transformers li espandono con l'autoattenzione, che consente di pesare dinamicamente l'importanza delle diverse parti dell'input durante l'elaborazione​.

 

Pertanto, le reti MLP non solo sono cruciali nel deep learning in generale, ma anche nel supportare e migliorare le architetture avanzate utilizzate nelle moderne piattaforme di AI come ChatGPT e Gemini, contribuendo alla loro capacità di comprendere e generare testo in modo efficiente e accurato​.

 

Le Reti Kolmogorov-Arnold (KAN) rappresentano un'alternativa agli MLP; queste reti si basano su un principio matematico noto come teorema di rappresentazione di Kolmogorov-Arnold. A differenza degli MLP, in cui ogni nodo nella rete ha una funzione di attivazione predefinita, le KAN introducono un'innovazione significativa utilizzando funzioni di attivazione che possono essere apprese e sono applicate non sui singoli nodi ma sui collegamenti tra i nodi. In pratica, ogni collegamento nella rete può adattarsi e migliorare specificamente in base ai dati trattati, grazie all'uso di funzioni specializzate denominate spline.

 

Questo approccio rende le reti KAN un modello molto più flessibile e potenzialmente più efficace rispetto ai percettroni multistrato (MLP) per determinate applicazioni. Ad esempio, gli MLP sono efficienti nel gestire set di dati che comprendono molteplici variabili e nel rilevare correlazioni intricate tra di esse. Tuttavia, questi modelli possono perdere precisione quando si tratta di approssimare funzioni univariate, ovvero funzioni matematiche che dipendono da una sola variabile indipendente. Le KAN, al contrario, uniscono le capacità degli MLP di elaborare dati complessi e multidimensionali con la specificità delle spline per trattare funzioni più semplici e mirate.

 

Le "spline" sono particolari tipi di funzioni matematiche usate prevalentemente per approssimare e interpolare dati. Sono composte da segmenti di curve polinomiali, che sono collegate tra loro in modo fluido e continuo. Questo rende le spline particolarmente utili per modellare e adattare curve a dati che variano in modo non lineare, offrendo una grande precisione locale nelle approssimazioni e nelle predizioni. Grazie all'impiego delle spline, le KAN possono quindi affrontare con maggiore efficacia compiti in cui è necessaria una fine regolazione nei dettagli o una specifica trattazione di funzioni definite su poche variabili, migliorando così la loro applicabilità e performance in vari scenari di uso pratico.

 

Immaginiamo, per esempio, che un'azienda voglia ottimizzare la propria rete logistica. Le KAN potrebbero apprendere dalle variazioni dei dati logistici e, allo stesso tempo, ottimizzare singole parti della rete per massimizzare l'efficienza complessiva. Questo rende le KAN particolarmente adatte per applicazioni che richiedono sia un alto grado di personalizzazione sia un'elevata accuratezza. Tali caratteristiche sono cruciali nelle applicazioni di intelligenza artificiale e nel campo scientifico, dove la precisione e l'interpretabilità sono fondamentali.

 

I test condotti mostrano che le KAN superano gli MLP in termini di accuratezza e capacità di interpretazione dei dati. Questi miglioramenti sono il risultato dell'implementazione di tecniche che semplificano e ottimizzano la rete, rendendo le KAN estremamente efficaci anche in compiti complessi come la soluzione di equazioni differenziali parziali o nella scoperta scientifica. Ad esempio, in studi sulla teoria dei nodi e sulla fisica, le KAN hanno dimostrato una grande capacità di analizzare e risolvere problemi che prima erano appannaggio di metodi computazionali molto più dispendiosi.

 

I Kolmogorov–Arnold Networks (KAN) e i Multi-Layer Perceptrons (MLP)

I Kolmogorov–Arnold Networks (KAN) e i Multi-Layer Perceptrons (MLP) sono entrambe architetture di reti neurali che traggono origine dal teorema dell'approssimazione universale. Tuttavia, le KAN si basano specificamente sul teorema di rappresentazione di Kolmogorov-Arnold, offrendo una nuova prospettiva sul design delle reti neurali.

 

Per capire meglio, immaginate una città dove le strade rappresentano le connessioni tra i diversi punti di interesse (i dati) e gli edifici rappresentano le funzioni che elaborano questi dati. Il teorema di rappresentazione di Kolmogorov-Arnold afferma che qualsiasi funzione complessa, come un percorso che attraversa tutta la città, può essere scomposta in tanti percorsi più semplici che, messi insieme, ricostruiscono il percorso originale. Questi percorsi più semplici sono le funzioni univariate, ovvero funzioni che dipendono da una sola variabile alla volta.

 

Storicamente, questa idea sembrava poco pratica per il machine learning, perché le funzioni univariate risultanti erano spesso troppo complesse da elaborare per i modelli, rendendo il processo di apprendimento molto difficile, come se si dovessero percorrere strade molto tortuose e complicate. Tuttavia, le KAN sono progettate per superare queste limitazioni, rendendo più gestibili queste funzioni complesse attraverso una struttura più flessibile e adattabile.

 

Nella progettazione delle KAN, si estende la formulazione originale del teorema per includere reti con larghezze e profondità arbitrarie. Immaginate che le strade della città possano essere allargate e prolungate a piacimento, creando un sistema stradale molto più efficiente e facile da navigare. Questo rende le KAN più flessibili e potenti, in grado di rappresentare e apprendere modelli complessi in modo più efficace.

 

Le KAN offrono quindi una nuova frontiera per il machine learning, combinando la robustezza teorica del teorema di Kolmogorov-Arnold con pratiche di progettazione adattive. Ad esempio, la tecnica di estensione della griglia consente di raffinare continuamente la precisione delle KAN, mentre le tecniche di semplificazione rendono queste reti più interpretabili, facilitando la comprensione del modello da parte degli utenti finali.

 

Architettura KAN

Nell'ambito dell'apprendimento automatico supervisionato, il compito principale è identificare una funzione in grado di approssimare un insieme di coppie di dati input-output. È come delineare il percorso più efficace tra diversi luoghi di interesse in una città, mirando a raggiungere ogni destinazione nel modo più diretto ed efficiente. L'architettura KAN affronta questa sfida attraverso un metodo unico che adotta curve B-spline per rappresentare funzioni univariate. Queste curve agiscono similmente a tratti stradali modificabili e adattabili alle necessità.

 

Possiamo immaginare la KAN come una rete stradale a due livelli, dove invece di avere funzioni di attivazione situate nei nodi (gli incroci), queste funzioni sono distribuite lungo le connessioni (le strade) tra i nodi. Questo permette alla rete di adeguarsi dinamicamente a variabili esigenze, similmente a una città con vie modificabili in base al flusso di traffico. Tuttavia, una rete di base non può gestire percorsi altamente complessi con la necessaria precisione, quindi per migliorare la sua efficacia, è essenziale espandere la KAN con livelli aggiuntivi.

 

Ogni livello della KAN può essere paragonato a una griglia di strade che connettono diversi quartieri, in cui ogni collegamento è rappresentato da una funzione personalizzabile. L'aggiunta di più livelli arricchisce la rete con strade più specializzate e sofisticate, migliorando così l'apprendimento e l'adattabilità.

 

Quindi, la struttura della KAN è costituita da una serie di livelli, ciascuno contenente nodi interconnessi da funzioni di attivazione personalizzabili. Il risultato della rete emerge dalla combinazione delle diverse attivazioni ricevute, come se si unissero percorsi individuali in un tragitto ottimizzato.

 

L'addestramento delle reti KAN avviene tramite retropropagazione, un processo che facilita l'apprendimento e l'aggiustamento progressivo dei percorsi, comparabile a un navigatore satellitare che aggiorna continuamente le sue mappe in relazione al traffico. Rispetto ai tradizionali perceptroni multi-strato (MLP), le KAN integrano trasformazioni lineari e non lineari in una singola funzione, rendendo la struttura computazionale più efficiente.

 

Per rendere i livelli KAN ancora più efficienti, vengono adottate diverse strategie. Una di queste è l'uso delle funzioni di attivazione residue. In parole semplici, queste funzioni aiutano la rete a imparare meglio combinando una funzione principale con piccoli aggiustamenti. Immagina una strada principale con deviazioni flessibili che possono essere aggiunte per migliorare il flusso del traffico. Allo stesso modo, le funzioni di attivazione residue permettono alla rete di fare aggiustamenti fini per migliorare le prestazioni complessive. Inoltre, per garantire la stabilità della rete, è fondamentale partire con una buona configurazione iniziale, proprio come una pianificazione urbana ben progettata aiuta a prevenire ingorghi.

 

Nonostante le reti KAN possano apparire meno efficienti in termini di parametri rispetto agli MLP, richiedono generalmente meno nodi, migliorando la loro capacità di generalizzazione e interpretazione del modello. Questo concetto è analogo a sviluppare una rete stradale più snella ma ben organizzata, che gestisce il traffico in modo più efficace rispetto a una rete più estesa ma meno ottimizzata.

 

Per applicazioni semplici che coinvolgono solo una variabile, una rete KAN può essere ridotta a una semplice curva spline, rappresentando un unico percorso ottimizzato. In situazioni più complesse, la rete mantiene la sua efficienza migliorando al contempo la sua capacità di adattarsi a vari scenari grazie a una struttura più profonda e complessa, paragonabile a una città con un sistema stradale altamente evoluto e dinamico.

 

Capacità di approssimazione e leggi di scaling delle KAN

Immaginiamo una città che mira a ottimizzare il flusso del traffico. Le reti Kolmogorov-Arnold modellano una rappresentazione dettagliata e agile di tutti i percorsi possibili, migliorando continuamente in base alle condizioni. Con livelli più profondi, la mappa si arricchisce di vie secondarie, aumentando la precisione nella rappresentazione dei percorsi.

 

Il teorema di approssimazione KAT suggerisce che una funzione può essere rappresentata sempre più accuratamente con l'aggiunta di dettagli. Le KAN, operando con griglie finite e specializzate, evitano problemi di dimensionalità, rappresentando funzioni complesse più efficacemente.

 

Le leggi di scaling indicano che l'errore di previsione diminuisce con l'incremento dei parametri, simile a una mappa cittadina che diventa sempre più dettagliata. Le KAN utilizzano un approccio dimensionale ridotto, superando gli MLP in termini di gestione della complessità e migliorando la precisione.

 

Estensione della griglia nelle KAN

Consideriamo gli urbanisti che progettano una città. Partendo da una mappa basilare con solo le strade principali, aggiungere dettagli significa inserire sempre più strade secondarie, migliorando il dettaglio della mappa cittadina. Similmente, nelle KAN, una spline può essere affinata con una griglia sempre più dettagliata, consentendo un'approssimazione dei dati più precisa rispetto ai tradizionali percettroni multistrato.

 

Le KAN possono essere migliorate raffinando la struttura delle loro reti, ottimizzando la rappresentazione senza dover ripartire da zero. In pratica, si tratta di ottimizzare le connessioni per rendere il sistema più efficiente, come aggiungere nuove fermate a una linea di trasporto pubblico per servire meglio i passeggeri.

 

In questo modo, le KAN non solo apprendono efficacemente la struttura generale dei dati, ma anche i dettagli specifici, rendendole strumenti potenti per affrontare problemi complessi e variabili.

 

Per l'interpretabilità: Semplificare i KAN e renderli interattivi

Semplificare le KAN e renderle più comprensibili è cruciale per sfruttarne pienamente le capacità. Selezionare la struttura più adatta per un KAN rappresenta una sfida, specialmente quando non si dispone della formula matematica che descrive i dati in esame. Una tecnica efficace consiste nell'utilizzare KAN di grandi dimensioni, formati attraverso strategie che incoraggiano una minor complessità, seguiti da un processo di eliminazione delle parti superflue per ottenere modelli più snelli e facili da comprendere.

 

Nel contesto dei MLP, si utilizzano spesso tecniche per eliminare le componenti non necessarie, riducendo così il carico di lavoro del sistema. Queste stesse tecniche sono state adattate anche ai KAN. Nei MLP, i "pesi lineari" sono valori numerici che determinano l'importanza di ciascun input. Nei KAN, invece, si utilizzano "funzioni di attivazione" al posto di questi pesi. Le funzioni di attivazione sono regole che decidono come rispondere agli input ricevuti.

 

Per ottimizzare le reti KAN, si può analizzare come queste funzioni di attivazione rispondono agli input, misurando quanto forte o debole è la loro reazione e valutando quanto questa reazione varia con diversi input. Se la funzione di attivazione reagisce in modo significativo o minimo a un dato input e se risponde in modo diverso a input diversi, si può determinare la loro utilità. Analizzando questi aspetti, si può capire quali funzioni di attivazione sono più efficaci e quali possono essere semplificate o rimosse. Questo processo di ottimizzazione rende le reti KAN più efficienti, eliminando le parti inutili o ridondanti, e semplifica la loro struttura complessiva, rendendole più facili da comprendere.

 

Per migliorare ulteriormente la comprensione delle reti KAN, è possibile regolare la visibilità delle funzioni di attivazione in base alla loro importanza, facilitando così l'identificazione degli elementi più influenti. Un passaggio successivo prevede l'eliminazione delle parti meno critiche, basata su valutazioni quantitative, rendendo la rete ancora più compatta e comprensibile.

 

Per rendere l'interpretazione più chiara, è possibile trasformare le funzioni di attivazione in simboli. Questo significa adattare i parametri affinché le funzioni corrispondano a formule matematiche conosciute, come quelle trigonometriche o logaritmiche. Strumenti come "fix_symbolic" e "suggest_symbolic" facilitano questo processo, rendendo le funzioni più comprensibili.

 

Un esempio concreto di interazione con un KAN può iniziare con un addestramento iniziale che enfatizza la riduzione della complessità, seguito da una fase di potatura automatica e dalla trasformazione simbolica delle funzioni di attivazione. Proseguendo nella regolazione dei parametri fino al raggiungimento di un'accuratezza ottimale, si può ottenere una rappresentazione simbolica precisa del modello.

 

Questo approccio garantisce un maggior controllo e una trasparenza superiore rispetto ai metodi convenzionali di regressione simbolica, che possono essere soggetti a errori e difficili da perfezionare. Le reti KAN, grazie alla loro continua esplorazione nello spazio delle funzioni e alla possibilità di interventi interattivi, forniscono soluzioni più solide e interpretabili, essenziali per le decisioni strategiche basate su dati complessi.

 

 

KAN: Il ponte tra intelligenza artificiale e scoperta scientifica

L’interpretabilità e interattività delle reti KAN le rendono particolarmente utili nella ricerca scientifica, come nella teoria dei nodi e nella fisica della materia condensata. Grazie alla loro precisione e alla capacità di analizzare dati complessi, le KAN rappresentano un ponte tra l'intelligenza artificiale e la scienza.

 

Esaminiamo sei esempi pratici che illustrano come queste reti siano in grado di rilevare le strutture compositive nelle formule simboliche e di apprendere le corrette funzioni.

 

Moltiplicazione: Immaginate una funzione che moltiplica due variabili, come il prezzo di un prodotto per la quantità venduta. Una KAN può svelare questa operazione utilizzando semplici funzioni di attivazione che rappresentano la moltiplicazione.

 

Divisione: Consideriamo una funzione che divide due numeri, ad esempio dividere i ricavi totali per il numero di prodotti venduti per ottenere il prezzo medio. Una KAN può rappresentare questa operazione utilizzando funzioni che semplificano il processo di divisione, mostrando chiaramente come si ottiene il risultato.

 

Conversione numerica: Supponiamo di voler convertire un numero reale nella sua prima cifra decimale, come convertire 3,14 a 3. Una KAN può apprendere questa conversione utilizzando funzioni che creano picchi attorno alle cifre decimali corrispondenti, facilitando l'interpretazione.

 

Funzione speciale: Le KAN possono anche apprendere funzioni speciali, come quelle utilizzate per descrivere fenomeni fisici complessi. Ad esempio, potrebbero rappresentare una funzione che descrive il comportamento di un materiale sotto determinate condizioni.

 

Transizione di fase: Immaginate una funzione che simula una transizione di fase, come il passaggio dall'acqua liquida al ghiaccio. Le KAN possono identificare i parametri chiave di questa transizione e rappresentare accuratamente il cambiamento.

 

Composizioni profonde: Una funzione che richiede la somma dei quadrati delle differenze può essere appresa da una KAN che identifica le necessarie operazioni di somma e quadratura, facilitando la comprensione di operazioni matematiche complesse.

 

Nel contesto dell'apprendimento non supervisionato, le KAN possono scoprire relazioni strutturali tra variabili senza la necessità di specificare input e output. Ad esempio, in un dataset con variabili dipendenti, le KAN possono identificare queste dipendenze e rivelare le strutture compositive.

 

Nella teoria dei nodi, le KAN sono utilizzate per studiare proprietà topologiche. Questo significa che possono ottenere risultati più accurati con meno parametri rispetto alle MLP, offrendo un modello più efficiente e interpretabile. Inoltre, le KAN possono riscoprire relazioni matematiche note e suggerire nuove intuizioni.

 

Infine, nella fisica della materia condensata, le reti KAN possono essere impiegate per analizzare dati complessi. In questo campo, i ricercatori studiano le proprietà di materiali come i solidi e i liquidi. Le KAN possono aiutare a esaminare e interpretare questi dati intricati. Ad esempio, possono identificare i bordi di mobilità, che sono limiti entro i quali le particelle possono muoversi in un materiale, all'interno di modelli matematici specifici. Questa capacità delle KAN di trovare parametri critici e spiegare cosa significano questi dati complessi facilita notevolmente la scoperta scientifica. Grazie alla loro precisione e alla capacità di rendere i dati più comprensibili e gestibili, le KAN permettono agli scienziati di interagire direttamente con i dati e di fare nuove scoperte in modo più efficace.

 

Criticità

Dal punto di vista matematico, la comprensione dei KAN è ancora limitata, nonostante il teorema di rappresentazione di Kolmogorov-Arnold fornisca una base solida. Questo teorema descrive solo una sottoclasse ristretta di KAN, una sorta di modello base con una struttura specifica. Tuttavia, il successo empirico di KAN più profondi suggerisce la possibilità di teoremi generalizzati che potrebbero definire rappresentazioni più complesse e profonde. L'idea è che esistano funzioni non rappresentabili con le strutture originali ma che potrebbero esserlo con una maggiore profondità.

 

Sul fronte algoritmico, diverse aree richiedono esplorazione. La precisione potrebbe essere migliorata esplorando alternative nelle funzioni di attivazione, come funzioni più flessibili o strategie di griglia adattativa. Attualmente, le KAN sono poco efficienti perché le funzioni di attivazione non sfruttano il calcolo parallelo. Questo potrebbe essere migliorato raggruppando le funzioni in gruppi o "multi-head". Inoltre, un'ibridazione tra KAN e MLP, mantenendo le funzioni di attivazione apprendibili ma collocate sui nodi, potrebbe aiutare a determinare quale modifica sia più cruciale per migliorare le KAN.

 

Dal punto di vista applicativo, i KAN hanno mostrato efficacia in compiti scientifici, come l'adattamento di equazioni fisiche e la risoluzione di problemi complessi. Ad esempio, applicare i KAN per risolvere equazioni complesse nella fisica dei fluidi o nella chimica quantistica potrebbe offrire nuovi insight. Anche l'integrazione dei KAN nelle attuali architetture di apprendimento automatico, come nei transformer, potrebbe portare a nuovi sviluppi, creando una sorta di “kansformer” che sostituisce i MLP nei transformer.

 

Il concetto di KAN come modello linguistico per AI e scienza introduce l'idea che le reti KAN, con le loro funzioni interpretabili, possano facilitare la comunicazione tra AI e scienziati. Questo approccio promuove una collaborazione più stretta e intuitiva tra AI e scienziati, in cui l'AI supporta la ricerca nei diversi campi scientifici.

 

Infine, la decisione tra KAN e MLP dipende dalle esigenze specifiche. I KAN attualmente soffrono di un addestramento più lento, ma offrono vantaggi in termini di interpretabilità e precisione. Pertanto, sono consigliabili quando la velocità di addestramento non è una priorità, soprattutto per problemi di AI e scienza su scala ridotta.

 

Conclusioni

La ricerca di Ziming Liu et al. sulle Reti Kolmogorov-Arnold (KAN) segna una svolta nel campo dell'apprendimento automatico, proponendo un'alternativa flessibile e precisa ai tradizionali Multi-Layer Perceptrons (MLP). Le KAN, grazie all'uso di funzioni di attivazione apprendibili sui collegamenti, offrono miglioramenti significativi nella precisione e adattabilità, ideali per applicazioni scientifiche e industriali complesse come la soluzione di equazioni differenziali parziali e la scoperta scientifica.

 

Questo approccio, basato sul teorema di rappresentazione di Kolmogorov-Arnold, combina la gestione di dati complessi tipica degli MLP con la precisione delle spline per funzioni univariate, superando gli MLP in termini di accuratezza e interpretabilità. "Le KAN superano gli MLP in termini di accuratezza e capacità di interpretazione dei dati", evidenziando una promettente capacità di risolvere problemi complessi con meno parametri, migliorando al contempo la capacità di generalizzazione e comprensione del modello.

 

La vera innovazione delle KAN risiede nella loro struttura, dove le funzioni di attivazione apprendibili sui collegamenti permettono una personalizzazione e precisione senza precedenti. Questo rende le KAN estremamente efficaci in campi dove la precisione è cruciale, come nell'ottimizzazione logistica o nella modellazione fisica.

 

Tuttavia, la sfida principale rimane nella comprensione e ottimizzazione delle KAN, sia dal punto di vista matematico che algoritmico. La loro complessità richiede ulteriori ricerche per migliorarne l'efficienza e l'implementazione pratica, potenzialmente esplorando ibridazioni con MLP o integrazioni in architetture di apprendimento automatico esistenti.

 

In sintesi, le KAN rappresentano una promettente frontiera nell'AI, aprendo la strada a nuove applicazioni e miglioramenti nella precisione e interpretabilità dei modelli, pur richiedendo ulteriori sviluppi per massimizzare il loro potenziale.

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